Chicken-egg Problem

부화할 확률이 각

p

인 달걀

N

개라고 할 때, 부화한 달걀이

i

개, 부화하지 않은 달걀이

j

개일 확률은?

Assumption:

부화한 달걀의 개수를 $X$ ,
부화하지 않은 달걀의 개수를 $Y$ 라고 할때, $X + Y = N$ 이며 $X ∣ N \sim Bin (N, p)$ .
( $X ∣ N$ $N$ 값이 주어져서 알고 있다고 가정하고, $N$ 을 상수 취급해 계산함)

Solve

Joint Distribution을 구해야 한다. $N = n$ 으로 안다고 가정하고 풀면 이항분포를 따르는 $X, Y$ 의 문제로 바뀌므로, 그렇게 가정 후 Law of Total Probability을 이용해 구한다.

P (X = i, Y = j) = n = 0 \sum \infty P (X = i, Y = j ∣ N = n) P (N = n)

이 때 $i + j = n$ 을 만족시키는 경우를 제외하고는 확률이 0이다. 따라서, $N = n$ 이라는 조건이 주어졌다면 당연히 $X = i$ 일 때 $Y = j$ 이다. 즉, $Y$ 와의 Joint PMF를 구할 필요가 없다.

n = 0 \sum \infty P (X = i ∣ N = i + j) P (N = i + j)

각각 베르누이 분포와 푸아송 분포를 따르므로

= \frac{( i + j )!}{i ! j !} p^{i} q^{j} \cdot \frac{e ^{- λ} λ ^{i + j}}{( i + j )!} = \frac{e ^{- λ p} ( λ p ) ^{i}}{i !} \cdot \frac{e ^{- λ (1 - p)} ( λ q ) ^{j}}{j !}

각각 $X = i$ , $Y = j$ 의 푸아송 확률 분포이고, 이의 곱이므로 $G (x, y) = G_{X} (x) G_{Y} (y)$ 의 꼴과 일치한다. 즉, $X$ 와 $Y$ 는 독립이다. 이는 푸아송 확률 분포의 특징 중 하나이다.